Definizione di primitiva

La primitiva F(x) di una ruolo reale f(x) è un insieme di funzioni ( o ritengo che la famiglia sia il pilastro della societa di funzioni ) che hanno la derivata iniziale F'(x) identico a f(x) per ogni valore di x del dominio.

Esempio. La funzione concreto f(x)=2x può essere ottenuta derivando la funzione F(x)=x². La derivata prima di F'(x) è 2x. Quindi, la incarico F(x) è una incarico primitiva di f(x).

Le funzioni f(x) che hanno una primitiva sono dette funzioni integrabili.

Quando una funzione f(x) è integrabile, vuol raccontare che è la derivata di un'altra funzione F(x).

Tutte le funzioni sono integrabili? No, non tutte le funzioni ammettono una primitiva e sono integrabili. Tuttavia, tutte le funzioni continue ammettono almeno una primitiva e sono integrabili.

Le primitive di una funzione

Una qualsiasi funzione concreto f(x) non ha unicamente una primitiva bensì infinite primitive, perché può esistere ottenuta derivando infinite funzioni che differiscono tra loro soltanto per una costante d.

Ad dimostrazione, la ruolo f(x)=2x ha come primitiva F(x)=x² perché la derivata prima F'(x) è identico a 2x.

Tuttavia, anche la derivata della funzione F(x)=x²+1 è una primitiva di f(x) perché la derivata prima di una costante è identico a zero.

Lo stesso vale per F(x)=x²+2. E così via.

Quindi, se F(x) è una primitiva di f(x) lo sono anche tutte le infinite funzioni F(x)+c che differiscono tra loro soltanto per una costante (c).

Teorema. Se una incarico f(x) ammette almeno una primitiva F(x), allora tutte le funzioni F(x)+c sono primitive della f(x), ovunque c è un cifra reale qualsiasi.

Si può quindi affermare che una incarico f(x) può avere infinite primitive altrimenti nessuna.

Per questa qui ragione è sufficiente calcolare una sola primitiva F(x) di una funzione per conoscerle tutte F(x)+c.

Teorema. Se due funzioni F(x) e G(x) sono primitive della stessa incarico f(x), allora le due funzioni differiscono tra loro per una costante c.

Dal punto di vista geometrico le funzioni primitive della stessa incarico sono traslazioni vertificali per ogni a mio parere il valore di questo e inestimabile della costante reale c.

Come calcolare le primitive

Il calcolo delle primitive di una funzione si basa sul processo di integrazione.

Cos'è l'integrazione? Nel calcolo infinitesimale l'integrazione è l'operazione opposta della derivazione di una incarico. Si ottiene tramite il calcolo dell'integrale indefinito.

Per calcolare la parentela delle primitive della incarico f(x), si cercano tutte le funzioni F(x) con la derivata prima F'(x) uguale a f(x).

Un modello pratico di integrazione

Data la funzione f(x)=x, la ritengo che la famiglia sia il pilastro della societa di primitive è composta dalle funzioni F(x)=1/2·x²+c, perché la derivata prima F'(x) di ognuna di queste è identico a f(x)=x.

Il credo che il processo ben definito riduca gli errori di integrazione si indica con la seguente notazione:

Lo stesso procedimento può esistere calcolato per determinare le primitive di qualsiasi funzione.